Question

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD， 如图2。
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；
（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）； （Ⅱ）（方法一）连结AC，BD交于O点，连结GO，FO，EO， ∵E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF//CD，且EF=CD，同理GO//CD，且GO=CD， ∴EF// GO， ∴四边形EFOG是平行四边形， ∴EO平面EFOG， 又在三角形PAC中，E，O分别为PC，AC的中点， ∴PA∥EO，EO平面EFOG，PA平面EFOG， ∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG。
（方法二）如图以D为原点，以为方向向量， 建立空间直角坐标系D-xyz， 则有关点及向量的坐标为：， ， ， 设平面EFG的法向量为， ∴ ， 取， ∵， ∴， 又平面EFG， ∴AP∥平面EFG.
（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC， 又∵PD⊥面ABCD， ∴AD⊥PD， 又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD， ∴向量是平面PCD的一个法向量，， 又由（Ⅰ）方法二，知平面EFG的法向量为， ∴  结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°。