Question

（2012•开封一模）已知函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，求函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）求m的取值范围，使不等式(1+

1

n

)n+m≤e对任意的n∈N^*都成立（其中e是自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，根据函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0，h（1）=ln2，即可
求a，b的值；
（Ⅱ）求导函数f′（x）=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，则φ′（x）=

-2x

1+x

，可得φ（x）在x=0处取得极大值，从而可得函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数，于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，由此可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）不等式(1+

1

n

)n+m≤e等价于（n+m）ln（1+

1

n

)≤≤1，分离参数可得m≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，设G（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，利用导数法可求G（x）在（0，1]上的最小值，即可求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得h′(x)=

a

b+ax

∵函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0
∴

a

b+a

=

1

2

∵h（1）=ln2
∴ln（a+b）=ln2
∴a=1，b=1；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，定义域为（-1，+∞）
f′（x）=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，则φ′（x）=

-2x

1+x

当-1＜x＜0时，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上为增函数；当x＞0时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）上为减函数
∴φ（x）在x=0处取得极大值，而φ（0）=0，所以g′（x）＜0（x≠0）
∴函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数
于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数
∴函数f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）．
（Ⅲ）不等式(1+

1

n

)n+m≤e等价于（n+m）ln（1+

1

n

)≤≤1，由1+

1

n

＞1，知m≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
设G（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，则G′（x）=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

∵ln²（1+x）-

x2

1+x

≤0，∴（1+x）ln²（1+x）-x²≤0
∴G′（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上为减函数
∴G（x）在（0，1]上的最小值为G（1）=

1

ln2

-1
∴m的取值范围为（-∞，

1

ln2

-1]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是求导函数，确定函数的单调性与最值．