Question

（14分）（理）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC

⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离．

 

Answer 1

【答案】

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB．

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB．

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM．∴∠NFE为二面角

N-CM-B的平面角．∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，

∴SD⊥平面ABC．又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．

∵SN=NB，∴NE=SD===，

 

且ED=EB．在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠

 

NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2．

 

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S_△CMN=CM·NF=，S_△

 

_CMB=BM·CM=2．

 

设点B到平面CMN的距离为h，∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，

∴h==．即点B到平面CMN的距离为．

 

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、O      B．

 

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO．

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）．∴=（-4，0，0），=（0，2，2），

∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，∴AC⊥SB．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）．

设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

 

取z=1，则x=，y=－，∴=（，－，1），

又=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，

∴cos（，）==．

 

∴二面角N-CM-B的大小为arccos．

 

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0）， =（，-，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d==

 

【解析】略