Question

已知

a

，

b

是非零向量，

a

与

b

的夹角为θ，当

a

+t

b

（t∈R）的模取得最小值时．
（1）求t的值；
（2）若

a

与

b

同向共线，求证：

b

⊥(

a

+t

b

)．

Answer 1

分析：（1）由两个向量的夹角，表示出两个向量的模长然后根据二次函数的性质可求取得最小值时的t
（2）本题要证明两个向量垂直，可通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，即可证明

解答：（1）解：∵|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

a 2+2t a • b +t2 b 2

=

a 2+2t| a || b |cosθ+ b 2

t²
=

b 2(t+ | a | | b | cosθ)2+| a |sin2θ

根据二次函数的知识可得，当t=-

| a |

| b |

cosθ=-

| a || b |

| b |2

cosθ=

a • b

| b |2

×（-1）时，|

a

+t

b

|取得最小值．
（2）证明：

b

•(

a

+t

b

)=

b

•(

a

-

a • b

| b |2

•

b

)=

b

•

a

-

a • b

| b |2

•

b

2=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

⊥(

a

+t

b

)．

点评：在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．?