Question

已知圆M：（x+

3

）²+y²=

225

16

的圆心为M，圆N：（x-

3

）²+y²=的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所求轨迹上是否存在一点Q，使得∠MQN为钝角？若存在，求出点Q横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据动圆与圆M内切，与圆N外切，得出则|PM|=

15

4

-r，|PN|=r+

1

4

，从而有根据|PM|+|PN|=4＞|MN|，椭圆的定义可得P点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的标准方程．
（II）先假设存在一点Q，并设Q（x，y），从而得出

QM

•

QN

=x2+y2-3＜0，然后与椭圆方程联立并化简得出x2＜

8

3

，即可得出结果．

解答：解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PM|=

15

4

-r，|PN|=r+

1

4

两式相加得|PM|+|PN|=4＞|MN|
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2

3

，实轴长为4的椭圆
其方程为

x2

4

+y2=1…（6分）
（Ⅱ）假设存在，设Q（x，y）．则因为∠MQN为钝角，所以

QM

•

QN

＜0

QM

=(-

3

-x，-y)，

QN

=(

3

-x，-y)，

QM

•

QN

=x2+y2-3＜0
又因为Q点在椭圆上，所以

x2

4

+

y2

1

=1
联立两式得：x2+1-

x2

4

-3＜0化简得：x2＜

8

3

，
解得：x∈(-

2 6

3

，

2 6

3

)，所以存在．…（13分）

点评：本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义和标准方程，得到|PM|+|PN|=4＞|MN|是解题的关键．