Question

已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0,那么该函数在(0，］上是减函数，在［,+∞)上是增函数.

(1)如果函数y=x+(x＞0)的值域为［6,+∞)，求b的值；

(2)研究函数y=x²+(常数c＞0)在定义域内的单调性，并说明理由；

(3)对函数y=x+和y=x²+(常数a＞0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数f(x)=(x²+)ⁿ+(+x)ⁿ(n是正整数)在区间［,2］上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).

Answer 1

解析：(1)函数y=x+(x＞0)在(0,]上是减函数，在［,+∞)上是增函数，

∴该函数在x=处取得最小值2.

    令2=6得b=log₂9.

(2)方法1：设t=x²≥0,显然函数y=t+在(0,]上是减函数，在［,+∞)上是增函数.

    令x²≤，得-≤x≤,

    令x²≥,得x≥或x≤-.

    又∵t=x²在(-∞,0]上是减函数，在［0,+∞)上是增函数，

    于是利用复合函数的单调性知，函数y=x²+,在(-∞,-]上是减函数，在［-,0)上是增函数，在(0，]上是减函数，［,+∞)上是增函数.

方法2：∵y′=2x-=2x-,

    令y′=0则x=±,又∴x≠0,

    于是

x	(-∞，-)	-	(-,0)	0	(0,)		(,+∞)
f′(x)	-	0	+		-	0	+
f(x)	↘	极小值	↗		↘	极大值	↗

∴y=x²+(c＞0)的单调增区间是［-,0),［,+∞);

    单调递减区间是(-∞,-],(0,].

(3)推广结论：当n是正奇数时，函数y=xⁿ+(常数a＞0)是奇函数，故在(-∞,-]上是增函数，在［-,0)上是减函数，

    在(0,]上是减函数，在［,+∞)上是增函数.

    而当n是正偶数时，函数y=xⁿ+(常数a＞0)是偶函数，

    在(-∞,-]上是减函数，在［-,0)上是增函数，

    在(0,]上是减函数，在［,+∞)上是增函数.

    当x=1时，有最小值(1的任意次幂都是1)，

∴F(x)_min=F(1)=(1+1)ⁿ+(1+1)ⁿ=2ⁿ⁺¹,

F(x)_max=F()=F(2)=()ⁿ+()ⁿ=9ⁿ［()ⁿ+()²ⁿ］.