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将函数上的所有极值点按从小到大排成一列,给出以下不等式: ①; ②;③;④;其中,正确的判断是(     )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

D

解析试题分析::∵函数f(x)=xsinx,∴,∴tanx=-x,
∴函数f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数y=tanx与y=-x的交点的横标,
观察两条直线的交点,从纵轴向右,在每一个周期上都有一个交点,
且从左向右,交点的位置依次更靠近渐近线,
∴两个交点之间的横标之差小于一个周期,大于半个周期,故选C.
考点: 数列与三角的综合考查,导数在三角函数中的应用,正切函数的图像与性质.
点评:解本题的关键是根据导数等于零,得到tanx=-x,从而确定函数f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数y=tanx与y=-x的交点的横标,然后观察两线的交点,在每一个周期上都有一个交点,且从左向右,交点的位置更靠近渐近线,两个点之间的横标的差.

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