【题目】已知双曲线的两条渐近线分别为直线,,经过右焦点且垂直于的直线分别交,于两点,若,,成等差数列,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由双曲线的性质可得:|AF|=b,|OA|=a,∴tan∠AOF=,∴tan∠AOB=tan2∠AOF=,在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|,再根据等差中项列等式可得 a=2b,可得离心率.
由双曲线的性质可得:|AF|=b,|OA|=a,tan∠AOF=,
∴tan∠AOB=tan2∠AOF=
在Rt△OAB中,tan∠AOB=
∴|OB|=,又|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,∴2|AB|=|OA|+|OB|,
∴,化简得:2a2﹣3ab﹣2b2=0,即(2a+b)(a﹣2b)=0,
∴a﹣2b=0,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2﹣a2),5a2=4c2,∴e2=.
故选:A.
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【题目】如图,在直角坐标系中,圆与轴负半轴交于点,过点的直线,分别与圆交于,两点.
(Ⅰ)若,,求的面积;
(Ⅱ)若直线过点,证明:为定值,并求此定值.
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【题目】某校研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化.老师讲课开始时学生的兴趣激增,接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.该小组发现注意力指标与上课时刻第分钟末的关系如下(,设上课开始时,t=0):.若上课后第5分钟末时的注意力指标为140.
(1)求的值;
(2)上课后第5分钟末和第35分钟末比较,哪个时刻注意力更集中?
(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?
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【题目】设数列的前项的和为,且,.
(1)证明数列为等比数列,并求出数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项的和;
(3)设函数(为常数),且(2)中的>对任意的和都成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知点为圆的圆心, 是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足, .
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线与圆相切,直线与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点, , 是坐标原点,且时,求的取值范围.
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【题目】如图,在多面体中,和交于一点,除以外的其余各棱长均为2.
作平面与平面的交线,并写出作法及理由;
求证:平面平面;
若多面体的体积为2,求直线与平面所成角的正弦值.
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