Question

15．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）图象的一个对称中心为（$\frac{7π}{12}$，0）．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意利用正弦函数的图象的对称性可得φ的值．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）由于函数f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）图象的一个对称中心为（$\frac{7π}{12}$，0），
故有2•$\frac{7π}{12}$+φ=kπ，k∈π，求得φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）对于函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故函数的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．