Question

20．如图是某建筑物的模型，现在要给该模型进行涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可用，每层只能用一种颜色，在每一层涂色时，每种颜色被使用的可能性相同．
（1）求在1至4层中红色恰好被使用1次，黄色没有被使用的概率；
（2）求在1至4层中红色被使用的次数X的分布列和数学期望、方差；
（3）为了使建筑物的色彩绚丽，规定每层只能从上一层未使用的三种颜色中等可能地随机选用一种，已知第1层使用红色，若用P_n表示第n层使用红色的概率，求P_n的表达式，并求出第7层使用红色的概率．

Answer 1

分析 （1）由在1至4层中红色恰好被使用1次，黄色没有被使用，得到前四层中，有一层是红色，其余三层不能是红色和黄色，由此能求出其概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、数学期望和方差．
（3）n=1时，p₁=1，n≠1时，p_n为n-1层不为红色的前提下第n层为红色，除去第一层和第n层，每层都有3种颜色可以选，由此推导出${p}_{n}-\frac{1}{4}$是等比数列，公比为-$\frac{1}{3}$，首项${p}_{1}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，从而能求出P_n的表达式，并求出第7层使用红色的概率．

解答 解：（1）∵在1至4层中红色恰好被使用1次，黄色没有被使用，
∴前四层中，有一层是红色，其余三层不能是红色和黄色，
∴其概率为p=$\frac{{C}_{4}^{1}×{2}^{3}}{{4}^{4}}$=$\frac{1}{8}$．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{{3}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{3}^{3}}{{4}^{4}}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{3}^{2}}{{4}^{4}}$=$\frac{27}{128}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}•3}{{4}^{4}}$=$\frac{3}{64}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{1}{256}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

X的数学期望E（X）=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{27}{128}$+$3×\frac{3}{64}+4×\frac{1}{256}$=1．
X的方差D（X）=$（0-1）^{2}×\frac{81}{256}$+（1-1）²×$\frac{27}{64}$+（2-1）²×$\frac{27}{128}$+（3-1）²×$\frac{3}{64}$+（4-1）²×$\frac{1}{256}$=$\frac{3}{4}$．
（3）n=1时，p₁=1，
n≠1时，p_n为n-1层不为红色的前提下第n层为红色，除去第一层和第n层，每层都有3种颜色可以选，
∴p_n=（1-p_n-1）×$\frac{{3}^{n-2}}{{3}^{n-1}}$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}•{p}_{n-1}$，
p_n-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$（p_n-1-$\frac{1}{4}$），
p_n-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$（${p}_{n-1}-\frac{1}{4}$），
∴${p}_{n}-\frac{1}{4}$是等比数列，公比为-$\frac{1}{3}$，首项${p}_{1}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴${p}_{n}-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴${p}_{n}=\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}+\frac{1}{4}$，
∴p₇=$\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）^{6}+\frac{1}{4}$=$\frac{121}{486}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，综合性强，难度大，对数学思维能力要求高，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．