Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₅=30，S₁₀=110，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求S_n与b_n；
（2）比较S_nb_n与T_na_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出差数列{a_n}的前n项和S_n；由${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）推导出S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，T_na_n=n•（3ⁿ-1），利用作差法能比较S_nb_n与T_na_n的大小．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵差数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₅=30，S₁₀=110，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．…（3分）
∵数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*），
∴${b}_{1}={T}_{1}=\frac{3}{2}{b}_{1}-\frac{1}{2}$，解得b₁=1，
又${T}_{n+1}=\frac{3}{2}{b}_{n+1}-\frac{1}{2}$，n∈N^*，
∴T_n+1-T_n=$\frac{3}{2}{b}_{n+1}-\frac{1}{2}-（\frac{3}{2}{b}_{n}-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{2}{b}_{n+1}-\frac{3}{2}{b}_{n}$，n∈N^*，
即${b}_{n+1}=\frac{3}{2}{b}_{n+1}-\frac{3}{2}{b}_{n}$，n∈N^*，
整理得b_n+1=3b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=3（常数），
∴数列{b_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴b_n=3^n-1． …（7分）
（2）∵T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{1}{2}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，T_na_n=n•（3ⁿ-1），
于是S_nb_n-T_na_n=（n²+n）•3^n-1-n•（3ⁿ-1）=n[3^n-1（n-2）+1]，…（9分）
当n=1时，S_nb_n-T_na_n=0，即S_nb_n=T_na_n；
当n≥2（n∈N^*）时，S_nb_n-T_na_n＞0，即S_nb_n＞T_na_n．
∴综上，当n=1时，S_nb_n=T_na_n；当n≥2（n∈N^*）时，S_nb_n＞T_na_n．…（12分）

点评 本题考查数列的前n项和、通项公式的求法，考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．