Question

11．设函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，求出a，b，即可求f（x）的解析式；
（2）利用导数可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，分别联立切线方程与x=1，y=x的方程可得三角形定点，利用三角形面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$，
∴f′（x）=a+$\frac{-1}{（x+b）^{2}}$，
∵函数f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
∴f′（2）=a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$=0，
∵f（2）=2a+$\frac{1}{2+b}$=3，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$；
（2）f′（3）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，f（3）=$\frac{7}{2}$，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{4}$（x-3）．
切线与直线x=1交点为（1，$\frac{1}{2}$）．                   
切线与直线y=x交点为（5，5）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．                                     
从而所围三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$-1||5-1|=1

点评 本题考查利用导数研究曲线的切线方程，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．