Question

1．已知p：直线x-2y+3=0与抛物线y²=ax（a＞0）没有交点；q：方程$\frac{x^2}{4-a}+\frac{y^2}{a-1}=1$表示焦点在y轴上的椭圆；若￢p，￢q都为假命题，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：因为若￢p，￢q都为假命题，
所以p，q都为真命题p：$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{y^2}=ax}\end{array}}\right.$消去x得y²-2ay+3a=0，
直线与抛物线没有交点，△=4a²-12a＜0，
解得0＜a＜3，
q：方程$\frac{x^2}{4-a}+\frac{y^2}{a-1}=1$表示交点在y轴上的椭圆，则$\left\{{\begin{array}{l}{4-a＞0}\\{a-1＞0}\\{4-a＜a-1}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{3}{2}＜a＜4$，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜3}\\{\frac{3}{2}＜a＜4}\end{array}\right.$，得$\frac{3}{2}$＜a＜3，
则a的取值范围是$（\frac{3}{2}，3）$．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．