Question

13．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=$\sqrt{2}$．
（1）求证：A₁A⊥平面ABCD；
（2）求该四棱柱的内切球体积．

Answer 1

分析 （1）由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=$\sqrt{2}$，可得A₁A⊥AB，A₁A⊥AD，从而便证出AA₁⊥面ABCD；
（2）由（1）可知，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，四棱柱的内切球的半径为$\frac{1}{2}$，可得四棱柱的内切球体积．

解答 （1）证明：∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，A₁A=1且A₁B=A₁D=$\sqrt{2}$，
∴A₁A⊥AB，A₁A⊥AD；
∵AB?面ABCD，AD?面ABCD，AB∩AD=A；
∴A₁A⊥面ABCD；
（2）解：由（1）可知，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴四棱柱的内切球的半径为$\frac{1}{2}$，
∴四棱柱的内切球体积为$\frac{4}{3}π•\frac{1}{8}$=$\frac{π}{6}$．

点评 考查直角三角形边的关系，线面垂直的判定定理，考查球的体积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．