Question

4．已知函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是定义在[-1，1]上的奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）若对任意t∈R，x∈[-1，1]，不等式f（x）＜3t²-λt+1恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=0，f（-1）+f（1）=0，解得a=2，b=1，注意检验；
（2）化简f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，x∈[-1，1]，运用指数函数的单调性，可得f（x）的值域；
（3）由题意可得3t²-λt+1＞f（x）_max=$\frac{1}{6}$，再由判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得f（0）=0，
即有$\frac{b-1}{2+a}$=0，解得b=1；
又f（-1）+f（1）=0，即为
$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+a}$+$\frac{1-2}{a+4}$=0，解得a=2．
即有f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$，
f（-x）+f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{2（1+{2}^{-x}）}$+$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=$\frac{{2}^{x}-1+1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=0，
故f（x）为奇函数，即有a=2，b=1；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1+{2}^{x}}$，x∈[-1，1]，
由y=2^x在[-1，1]递增，可得f（x）在[-1，1]递减，
即有f（x）的值域为[f（1），f（-1）]，
即为[-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$]；
（3）对任意t∈R，x∈[-1，1]，不等式f（x）＜3t²-λt+1恒成立，
即为3t²-λt+1＞f（x）_max=$\frac{1}{6}$，
即有△＜0，即λ²-4×3×$\frac{5}{6}$＜0，
解得-$\sqrt{10}$＜λ＜$\sqrt{10}$．
即有λ的取值范围为（-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用和值域的求法，注意运用奇函数的性质和指数函数的单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的最值和二次不等式恒成立的解法，属于中档题．