Question

19．求符合下列条件的直线方程．
（1）过点P（3，-2），且与直线4x+y-2=0平行；
（2）过点P（3，-2），且在两轴上的截距互为相反数．
（3）过点P（3，-2），且与两坐标轴围成的三角形面积为5．

Answer 1

分析 （1）设与直线4x+y-2=0平行的直线方程为：4x+y+m=0，把点P（3，-2）代入解得m即可得出．
（2）当直线经过原点时，可得直线方程为：y=$-\frac{2}{3}$x．当直线不经过原点时，可设直线方程为：x-y=a，把点P（3，-2）代入解得a即可得出；
（3）设直线方程为：y=kx+b，与坐标轴相交于两点A（0，b），B（-$\frac{b}{k}$，0）．则-2=3k+b，$\frac{1}{2}\frac{{b}^{2}}{k}$=5．解出即可得出．

解答 解：（1）设与直线4x+y-2=0平行的直线方程为：4x+y+m=0，
把点P（3，-2）代入可得：12-2+m=0，解得m=-10，
∴要求的直线方程为：4x+y-10=0．
（2）当直线经过原点时，可得直线方程为：y=$-\frac{2}{3}$x，化为2x+3y=0．
当直线不经过原点时，可设直线方程为：x-y=a，
把点P（3，-2）代入可得：3-（-2）=a，解得a=5，
综上可得：要求的直线方程为：2x+3y=0，或x-y-5=0．
（3）设直线方程为：y=kx+b，与坐标轴相交于两点A（0，b），B（-$\frac{b}{k}$，0）．
则-2=3k+b，$\frac{1}{2}\frac{{b}^{2}}{k}$=5．
解得：k=$\frac{-11+\sqrt{85}}{9}$，b=$\frac{5-\sqrt{85}}{3}$．或k=$\frac{-11-\sqrt{85}}{9}$，b=$\frac{5+\sqrt{85}}{3}$．
∴直线方程为：y=$\frac{-11+\sqrt{85}}{9}$x+$\frac{5-\sqrt{85}}{3}$．或y=$\frac{-11-\sqrt{85}}{9}$x+$\frac{5+\sqrt{85}}{3}$．

点评 本题考查了直线相互平行与相互垂直的充要条件、直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．