Question

3．如图，△ABC为等边三角形，D，E是平面ABC同一侧的两点，DA⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，EB=2DA．
（Ⅰ）求证：平面EDC⊥平面EBC；
（Ⅱ）若∠EDC=90°，求直线EB与平面EC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AO⊥BC，从而FO⊥平面ABC，以O为原点，分别以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{OF}$的方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面EDC⊥平面EBC．
（Ⅱ）设直线EB与平面DEC所成角为θ，利用向量法能求出直线EB与平面EC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）设F、O分别线段EC、BC的中点，AB=a，DA=b，
由题设，得FO∥EB，AO⊥BC，
∵EB⊥平面ABC，∴FO⊥平面ABC，
∴FO⊥BC，FO⊥AO，
如图，以O为原点，分别以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{OF}$的方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b），E（-$\frac{1}{2}a$，0，2b），C（$\frac{1}{2}a$，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，b），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{1}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，-b$），
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面EDC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay+bz=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay-bz=0}\end{array}\right.$，取z=a，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2b，0，a），
平面EBC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=0，
∴平面EDC⊥平面EBC．
解：（Ⅱ）设直线EB与平面DEC所成角为θ，
∵∠EDC=90°，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$=0，
∴$-\frac{1}{2}a•\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a-b•b=0$，
解得a=$\sqrt{2}b$，
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，0，-2b），平面EDC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2b，0，$\sqrt{2}b$），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{{n}_{1}}|}{|\overrightarrow{EB}|•|\overrightarrow{{n}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线EB与平面EC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面线的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．