Question

（2012•深圳一模）已知符号函数sgn=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，则函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x的零点个数为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：对lnx的值进行分类讨论，即lnx＞0、lnx=0、lnx＜0，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可．

解答：解：①如果lnx＞0，即x＞1时，
那么函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x转化为函数f（x）=1-ln²x，令1-ln²x=0，得x=e，
即当x＞1时．函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x的零点是e；
②如果lnx=0，即x=1时，
那么函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x转化为函数f（x）=0-ln²x，令0-ln²x=0，得x=1，
即当x=1时．函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x的零点是1；
③如果lnx＜0，即0＜x＜1时，
那么函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x转化为函数f（x）=-1-ln²x，令-1-ln²x=0，无解，
即当0＜x＜1时．函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x没有零点；
综上函数f（x）=sgn（lnx）-ln²x的零点个数为2．
故选C．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．