Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

5

=1内有一点A（1，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．
（1）求|PA|+|PF₁|的最大值、最小值及对应的点P坐标；
（2）求|PA|+

3

2

|PF2|的最小值及对应的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义表示出|PA|+|PF₁|，通过基本不等式求出的最小值，利用三点共线求出最大值，求出对应的点P坐标；
（2）利用他的第二定义表示|PA|+

3

2

|PF2|，利用几何意义求出表达式的最小值及对应的点P的坐标．

解答：解：（1）如图1，2a=6，F₂（2，0），|AF₂|=

2

，设P是椭圆上任一点，由|PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PA|≥|PF₂|-|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≥|PF₁|+|PF₂|-|AF₂|=2a-|AF2|=6-

2

，
等号仅当|PA|=|PF₂|-|AF₂|时成立，此时P、A、F₂共线．
由|PA|≤|PF₂|+|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≤|PF₁|+|PF₂|+|AF₂|=2a+|AF2|=6+

2

，
等号仅当|PA|=|PF₂|+|AF₂|时成立，此时P、A、F₂共线．
建立A、F₂的直线方程x+y-2=0，
解方程组

x+y-2=0 5x2+9y2=45

得两交点P1(

9

7

-

15

14

2

 ， 

5

7

+

15

14

2

)、P2(

9

7

+

15

14

2

 ， 

5

7

-

15

14

2

)．
综上所述，P点与P₁重合时，|PA|+|PF₁|取最小值6-

2

，P点与P₂重合时，|PA|+|PF₂|取最大值6+

2

．
（2）如图2，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，
∴e=

2

3

．由椭圆第二定义知

|PF2|

|PQ|

=e=

2

3

，∴|PQ|=

3

2

|PF2|，
∴|PA|+

3

2

|PF2|=|PA|+|PQ|，
要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右准线方程为x=

9

2

．
∴A到右准线距离为

7

2

．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标(

6 5

5

 ， 1)．

点评：本题考查椭圆的定义以及第二定义的应用，表达式的几何意义的应用，考查转化思想与计算能力．