Question

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面.

已知:直线a∥直线b,a⊥平面α,

求证:b⊥α.

Answer 1

证法一:如下图，在α内任取一条直线g.

∵a⊥α,gα,∴a⊥g.

∵a∥b,∴b⊥g.

    由直线和平面垂直的定义知b⊥α.

证法二:如下图设m、n是α内的两条相交直线.

∵a⊥α,m、nα,∴a⊥m,a⊥n.

∵a∥b,∴b⊥m,b⊥n.

    由直线和平面垂直的判定定理知b⊥α.

证法三：如下图，假设b和α不垂直,则在α内至少有一条直线c和b不垂直.

∵a⊥α,∴a⊥c.

∵a∥b,∴b⊥C.

这与b和C不垂直矛盾.

∴b⊥α.

点评:利用定义证明直线和平面垂直时,需在平面内任取一条直线;利用判定定理证明直线和平面垂直时,需在平面内取两条相交直线.证直线和平面垂直,最后都转化成了证直线和直线垂直.本例的结论也是判定直线和平面垂直的一种方法.