Question

如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP． (1) 求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示) (2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP (3) 求点P到平面ABD1的距离

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB． 　　如图所示，建立空间直角坐标系，坐标原点为D． 　　∵CC1=4CP，CC1=4 ，∴CP=1． 　　∴A(4，0，0)，P(0，4，1)，B(4，4，0)． 　　∴=(4，一4，－1)，=(4，0，－1)． 　　∴·=16＋0＋1=17． 　　∴cos∠= 　　==． 　　∴直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos．
(2)	连结D1O，由(1)有D1(0，0，4)，O(2，2，4)． 　　∴=(2，2，0)，∴·=8－8＋0=0，∴⊥ 　　∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H，∴D1H⊥AP．
(3)	连结BC1，在平面BCC1B1中，过点P作PQ⊥BC1于点Q． 　　∵AB⊥平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，∴PQ⊥AB．∴PQ⊥平面ABC1D1． 　　∴PQ就是点P到平面ABD1的距离． 　　在Rt△C1PQ中，∠C1QP=，∠PC1Q=，PC1=3， 　　∴PQ=，即点P到平面ABD1的距离为． 　　点评：求夹角和距离问题是向量应用的主要方面，在垂直关系较多的几何图形中，常常建立空间直角坐标系求解，这也是高考考题的常见题型．