Question

14．已知点P是抛物线y²=2x上的动点，定点Q（m，0），那么“m＜1”是“|PQ|的最小值为|m|”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 设P（$\frac{1}{2}$y²，y），求出|PQ|的最小值为|m|的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：设P（$\frac{1}{2}$y²，y），
则|PQ|=$\sqrt{（\frac{1}{2}{y}^{2}-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{y}^{4}+（1-m）{y}^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}（{y}^{2}+2（1-m））^{2}+2m-1}$，
∵y²≥0，
∴若“|PQ|的最小值为|m|”，则等价为当y²=0时，取得最小值，
此时满足2（1-m）≥0，即m≤1，
则“m＜1”是“|PQ|的最小值为|m|”的充分不必要条件，
故选：A．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的性质利用两点间的距离公式是解决本题的关键．