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已知a∈R,解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax.
分析:分类讨论:当a=0时,不等式ax2-2≥2x-ax化为-2≥2x,解得即可.
当a≠0时,不等式ax2-2≥2x-ax可化为a(x-
2
a
)(x+1)≥0
(*).
当a>0时,(*)不等式化为(x-
2
a
)(x+1)≥0
,解得即可;
当a=-2时,(*)不等式化为(x+1)2≤0,解得即可;
当a<-2时,(*)不等式化为(x-
2
a
)(x+1)≤0
,解得即可;
当-2<a<0时,(*)不等式化为(x-
2
a
)(x+1)≤0
,解得即可.
解答:解:①当a=0时,不等式ax2-2≥2x-ax化为-2≥2x,解得x≤-1,此时原不等式的解集为{x|x≤-1};
②当a≠0时,不等式ax2-2≥2x-ax可化为a(x-
2
a
)(x+1)≥0
(*).
当a>0时,(*)不等式化为(x-
2
a
)(x+1)≥0
,解得x≤-1或x≥
2
a
,此时原不等式的解集为{x|x≤-1或x
2
a
};
当a=-2时,(*)不等式化为(x+1)2≤0,解得x=-1,此时原不等式的解集为{x|x=-1};
当a<-2时,(*)不等式化为(x-
2
a
)(x+1)≤0
,解得-1≤x≤
2
a
,此时原不等式的解集为{x|-1≤x≤
2
a
};
当-2<a<0时,(*)不等式化为(x-
2
a
)(x+1)≤0
,解得
2
a
≤x≤-1
,此时原不等式的解集为
{x|
2
a
≤x≤-1
}.
综上可知:当a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,原不等式的解集为{x|x≤-1或x
2
a
};
当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-1};
当a<-2时,原不等式的解集为{x|-1≤x≤
2
a
};
当-2<a<0时,原不等式的解集为{x|
2
a
≤x≤-1
}.
点评:本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法,正确分类和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键,属于难题.
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