Question

已知函数f（x）=5x-5x²，记函数f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，…，考察区间A=（-∞，0），对任意实数x∈A，有f₁（x）=f（x）=a＜0，f₂（x）=f[f₁（x）]=f（a）＜0，且n≥2时，f_n（x）＜0，问：是否还有其它区间，对于该区间的任意实数x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0？

Answer 1

分析：由函数f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]…知若使f_n（x）＜0等价于f[f_n-1（x）]＜0，由f（x）＜0，得x＜0或x＞1，则有f_n-1（x）＜0或f_n-1（x）＞1，依此类推，要使一切n∈N₊，n≥2，都有f_n（x）＜0，必须有f₁（x）＜0或f₁（x）＞1即f（x）＜0或f（x）＞1的解集即为所求．

解答：解：f（x）＜0，即5x²-5x＞0，故x＜0或x＞1．
∴f_n（x）＜0?f[f_n-1（x）]＜0?f_n-1（x）＜0或f_n-1（x）＞1．
要使一切n∈N₊，n≥2，都有f_n（x）＜0，必须使f₁（x）＜0或f₁（x）＞1，
∴f（x）＜0或f（x）＞1，即5x-5x²＜0或5x-5x²＞1．
解得x＜0或x＞1或

5- 5

10

＜x＜

5+ 5

10

，
∴还有区间（

5- 5

10

，

5+ 5

10

）和（1，+∞）
使得对于这些区间内任意实数x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0

点评：本题一道方案类型题，做题时要用即定的规律进行递推，转化，还涉及到不等式的法和恒成立问题．