Question

已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且x＞2y，若k（x-2y）≤x²+4y²恒成立，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：由已知得到xy=1，结合x＞2y把不等式k（x-2y）≤x²+4y²化为k≤(x-2y)+

4

x-2y

，利用基本不等式求其最小值后得答案．

解答： 解：由lnx+lny=0，得xy=1，
又x＞2y，
∴x-2y＞0，
不等式k（x-2y）≤x²+4y²恒成立，
即k≤

x2+4y2

x-2y

=

(x-2y)2+4

x-2y

=(x-2y)+

4

x-2y

．
令t=(x-2y)+

4

x-2y

，
则t≥2

(x-2y)• 4 x-2y

=4．
当且仅当

x-2y=2 xy=1

，即x=

3

+1，y=

3 -1

2

时上式等号成立．
∴k≤4．
故答案为：k≤4．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．