Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知b_n＞0（n∈N₊），且a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃，S₅=5（T₃+b₂）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：

b2

T1•T2

+

b3

T2•T3

+…+

bn+1

Tn•Tn+1

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列出方程组，求得公差及公比，即可写出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

bn+1

Tn•Tn+1

=

Tn+1-Tn

Tn•Tn+1

=

1

Tn

-

1

Tn+1

，利用裂项相消法求和即得结论．

解答： 解：（I）设公差为d，公比为q（q＞0），则有

d=q2 2d=2q+q2

⇒

d=4 q=2

，
从而有an=4n-3，bn=2n-1．
（II）由bn=2n-1得Tn=2n-1且

bn+1

Tn•Tn+1

=

Tn+1-Tn

Tn•Tn+1

=

1

Tn

-

1

Tn+1

，
则原式=(

1

T1

-

1

T2

)+(

1

T2

-

1

T3

)+…+(

1

Tn

-

1

Tn+1

)=

1

T1

-

1

Tn+1

=1-

1

2n+1-1

．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及裂项法求数列和等知识，属于中档题，应熟练掌握运用．