Question

16．在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=4，$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，|$\overrightarrow{AD}$|的值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 根据条件建立坐标系，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：将三角形放入坐标系中，
则C（0，4），B（3，0），
∵$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），
∴λ+μ=1，
则1=λ+μ≥2$\sqrt{λμ}$，即λμ≤$\frac{1}{4}$，当且仅当λ=μ=$\frac{1}{2}$时取等号，
此时$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（3，0）+$\frac{1}{2}$（0，4）=（$\frac{3}{2}$，2）
则|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查平面向量的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．