Question

【题目】已知函数.

（1）若恒成立，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若，证明：；

（3）若，证明：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数求函数的最小值，令最小值大于等于0，从而求得的值；

（2）由（1）可得，令，利用导数求证函数的最小值大于等于0即可；

（3）由（2）可得，当时，，要证，只需证明，若，即，再利用换元法，结合导数进行证明即可.

（1）由题可得.

当时，若，则，不满足条件.

当时，令，得.

∵当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为

令，由题意可知.

令，得.

易知在上单调递增，在上单调递减，

.

再结合式得.

（2）由（1）可得.

令，则.

令，则在上单调递增，

在上单调递增，

，

.

（3）由（2）可得，当时，.

要证，只需证明.

若，即，则题中不等式成立，下面证明.

令，

求导得，

在上单调递增，

，

，即，