练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    2．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下题：
    ①f（x）在[1，3]上的图象时连续不断的  
    ②f（x）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性质P
    ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]
    ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
    其中真命题的序号③④．

    分析 根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．

    解答 解：在①中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{2}^{x}}，1≤x＜3\\ 2，x=3\end{array}\right.$在[1，3]上满足性质P，
    但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
    在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=-x2在[1，$\sqrt{3}$]上不满足性质P，
    故②不成立；
    在③中：在[1，3]上，f（2）=f（$\frac{x+4-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}f（x）+f（4-x）≥2\\{f（x）≤f（x）}_{max}=f（2）=1\\{f（4-x）≤f（x）}_{max}=f（2）=1\end{array}\right.$，
    故f（x）=1，
    ∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
    故③成立；
    在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
    有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）=f（$\frac{{\frac{1}{2}（x}_{1}+{x}_{2}）+{\frac{1}{2}（x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）
    ≤$\frac{1}{2}$[f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$ ）]
    ≤[$\frac{1}{2}$（f（x1）+f（x2））+$\frac{1}{2}$（f（x3）+f（x4））]
    =$\frac{1}{4}$[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，

    ∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
    故④成立．
    故答案为：③④．

    点评 本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    12．直线y=2x+1关于y轴对称的直线方程为y=-2x+1．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    13．若函数y=x2-x的图象在点x=2处的切线被圆C：x2+y2=r2（r＞0）所截得的弦长是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，则r=（　　）
    A．$\frac{\sqrt{2}}{2}$B．1C．$\sqrt{2}$D．2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有30人，则n的值为（　　）
    A．100B．1000C．90D．900

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    17．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）
    A．$\frac{5π}{4}$B．$\frac{2π}{5}$C．$（6-2\sqrt{5}）π$D．$\frac{5π}{2}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．当x∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$时，求函数y=3-sinx-2cos2x的最小值和最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．（1）用列举法表示集合A={x|x2-3x+2=0}；
    （2）用描述法表示“比-2大，且比1小的所有实数”组成的集合B；
    （3）用另一种方法表示集合C={（x，y）|x+y=5，x∈N，y∈N}．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    11．已知集合A={x|x2＜2-x}，B={x|一1＜x＜2}，则A∪B=（　　）
    A．（一1，1）B．（一2，2）C．（一1，2）D．（一2，1）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    12．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，C=$\frac{3π}{4}$，且sinB=2sinA•cos（A+B）．
    （1）证明：b2=2a2；
    （2）若△ABC的面积是1，求边c．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案