Question

8．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁是菱形，D为A₁C₁的中点，B₁C⊥A₁B．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C垂直平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB₁=B₁C=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出B₁C⊥BC₁，B₁C⊥A₁B，从而B₁C⊥平面A₁BC₁，由此能证明平面AB₁C垂直平面A₁BC₁．
（Ⅱ）设BC₁∩B₁C于点E，连DE，推导出DE∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅲ）侧面BAA₁B₁和侧面BCC₁B₁是两个全等的菱形，侧面ACC₁A₁是一个正方形，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．

解答 证明：（Ⅰ）∵侧面BCC₁B₁是菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面A₁BC₁，
∵B₁C?平面AB₁C，∴平面AB₁C垂直平面A₁BC₁．
（Ⅱ）设BC₁∩B₁C于点E，连DE，∵在△A₁BC₁中，D为A₁C₁的中点，E为BC₁的中点，
∴DE∥A₁B，
∵DE?平面B₁CD，A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．
解：（Ⅲ）依题意，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
两底面是边长为2的正三角形，面积均为$\sqrt{3}$，
侧面BAA₁B₁和侧面BCC₁B₁是两个全等的菱形，面积均为2$\sqrt{3}$，
侧面ACC₁A₁是一个正方形，面积为4，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积为$6\sqrt{3}+4$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱柱的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．