Question

（08年新建二中五模理） 设函数其中常数为整数.

　 ⑴当为何值时,；

　 ⑵定理：若函数在上连续,且与异号,则至少存在一点,使.

     试用上述定理证明:当整数时,方程,在内有两个实根.

Answer 1

解析:（１）函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且

．

当x∈(-m,1-m)时,　，f(x)为减函数,　f(x)>f(1-m)；

当x∈(1-m, +∞)时,　 ，f(x)为增函数,　f(x)>f(1-m)．

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且

对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m，故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0．

(２)由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,

函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数．

，

由所给定理知，存在唯一的，而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的，

故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根．