Question

点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是

 

．

Answer 1

分析：求出平行于直线x-y-4=0且与曲线y=x²-lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．

解答：解：设P（x，y），则y′=2x-

1

x

（x＞0）
令2x-

1

x

=1，则（x-1）（2x+1）=0，
∵x＞0，∴x=1
∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x²-lnx相切的切点坐标为（1，1）
由点到直线的距离公式可得点P到直线x-y-4=0的距离的最小值d=

|1-1-4|

2

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．