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如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率e=

左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=2.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),是否存在直线l:y=x+m,使点B关于直线l的对称点落在椭圆C上,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)∵轴,∴,由椭圆的定义得:,       2分

  ∵,∴,             4分

  又e=  ∴,          6分

  ∴

  ∴所求椭圆C的方程为.               8分;

  (Ⅱ)设满足条件的直线存在,由(Ⅰ)知点B为(0,)设点B关于直线的对称点为,则由轴对称的性质可得:

  解得:,            11分

  ∵点在椭圆上,∴,整理得解得

  ∴直线的方程为            13分

  经检验都符合题设

  ∴满足条件的直线存在,其方程为.       14分

  (其它解法请参照给分)


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(2009•杭州二模)如图,在直角坐标系xOy中,锐角△ABC内接于圆x2+y2=1.已知BC平行于x轴,AB所在直线方程为y=kx+m(k>0),记角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
(1)若3k=
2ac
a2+c2-b2
,求cos2
A+C
2
+sin2B
的值;
(2)若k=2,记∠xOA=α(0<α<
π
2
),∠xOB=β(π<β<
2
),求sin(α+β)
的值.

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精英家教网如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=
15
4
,左顶点A(-4,0),圆O':(x-2)2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆.
(Ⅰ) 求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求圆O'的半径r;
(Ⅲ)过M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,判断直线EF与圆O'的位置关系,并证明.

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(2013•石景山区二模)如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(
π
6
π
2
)
.将角α的终边按逆时针方向旋转
π
3
,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若x1=
1
3
,求x2
(Ⅱ)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.若S1=2S2,求角α的值.

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精英家教网如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(
π
3
π
2
)
.将角α的终边按逆时针方向旋转
π
6
,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若x1=
1
4
,求x2; 
(Ⅱ)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.若S1=S2,求角α的值.

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精英家教网如图,在直角坐标系中,已知射线OA:x-y=0(x≥0),OB:
3
x+3y=0(x≥0),过点P(a,0)(a>0)作直线l分别交射线OA,OB于A,B两点,且
AP
=2
PB
,则直线l的斜率为
 

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