一种计算装置.有一数据入口A和一个运算出口B .按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时.从B口得到 .记为,②当从A口输入自然数时.在B口得到的结果是前一个结果的倍. (Ⅰ)当从A口分别输入自然数2 .3 .4 时.从B口分别得到什么数? (Ⅱ)试猜想的关系式.并证明你的结论. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍.

（Ⅰ）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？

（Ⅱ）试猜想的关系式，并证明你的结论.

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知得 ……1分

当时，， ……2分

同理可得 ………………………… 4分

（Ⅱ）猜想 …………7分

下面用数学归纳法证明成立

①当时，由已知可知成立 ……8分

②假设时，猜想成立，即 …………9分

那么当时，……………12分

即

当时，也成立 ………………13分

综合①②所述，对，成立。 …………14分

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