Question

（2012•湖南模拟）设函数f(x)=ax2+bx+c，且f(1)=-

a

2

，3a＞2c＞2b，求证：
（1）a＞0且-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则

2

≤|x1-x2|＜

57

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出＞0，b＜0，2c=-3a-2b，利用不等式基本性质，即可证明．
（2）可以证出当c＞0时，f（0）f（1）＜0，当c≤0时，f（2）f（1）＜0，根据零点存在性定理，即可证出．
（3）x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，利用二次方程根与系数的关系，得出|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

，再结合（1）进行证明即可．

解答：证明：（1）∵f(1)=a+b+c=-

a

2

∴3a+2b+2c=0
又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）
又2c=-3a-2b  由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0∴-3＜

b

a

＜-

3

4

…（4分）
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且f(1)=-

a

2

＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）
②当c≤0时，∵a＞0∴f(1)=-

a

2

＜0且f(2)=a-c＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）
（3）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点
则x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

=-

3

2

-

b

a

…（12分）∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

∵-3＜

b

a

＜-

3

4

∴

2

≤|x1-x2|＜

57

4

…（15分）

点评：本题是函数与不等式、方程的结合．考查二次函数性质、函数零点、不等式的证明，考查计算、论证能力．