Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=a（a≠-2，a∈R），．
（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（Ⅱ）当a₁=时，记，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意得，a_n+1=，
∵a₁=a（a≠-2，a∈R），数列{a_n}是常数列，
∴a_n+1=a_n=a，
∴=a，
∴a=1或a=0（舍），
∴a=1；
（Ⅱ）证明∵a_n+1=，
∴==+，
∴-1=（-1），又b_n=-1（n∈N^*），
∴b_n+1=b_n，
∴=，又a₁=，b₁=-1=，
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，
∴b_n=•=．
分析：（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，则a₂=a₁=a，即可求得a的值；
（Ⅱ）当a₁=时，可求得=，利用等比数列的概念可证明数列{b_n}是等比数列，从而可求得{b_n}的通项公式．
点评：本题考查等比关系的确定，考查等比数列的通项公式，证明数列{b_n}是等比数列是难点所在，考查转化与运算能力，属于中档题．