Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）猜测的单调性，并用定义证明；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）减函数；（3）

【解析】试题分析：根据函数为奇函数，利用奇函数的定义和函数定义域中含有x=0,f(0)=0,列方程组解出参数a，b，写出函数的解析式；分离常数容易猜出函数为减函数，用定义法证明函数的单调性，步骤为①取值，②作差，③变形，④断号，最后给出单调性结论.恒成立问题，采用分离参数，求最值，借助“极值原理”求出参数的范围

试题解析：

（1）由，可得，检验：当时， ，定义域为，对任意，都有，所以为奇函数.

（2）在单调递减. 以下用定义证明：设，则，因为函数在为增函数，且，所以.又因为，所以，所以，所以在单调递减.

（3）由可得，因为在单调递减，所以任意，都有恒成立，若，则，符合题意，所以；若，则，令，则，若，则，令，则，综上所述，实数的取值范围是.