Question

18．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{12}$），x∈R
（1）求f（-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若cosθ=$\frac{4}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（2θ-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式求得f（-$\frac{π}{4}$）的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sin2θ和cos2θ 的值，再利用两角差的正弦公式求得f（2θ-$\frac{π}{3}$）=sin（2θ-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{12}$），故f（-$\frac{π}{4}$）=sin（-$\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）若cosθ=$\frac{4}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinθ=$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$，∴sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{7}{25}$，
∴f（2θ-$\frac{π}{3}$）=sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=sin2θcos$\frac{π}{4}$-cos2θsin$\frac{π}{4}$=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦公式的应用，属于基础题．