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    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    ，它们的夹角为θ，且|
    a
    |=3    ，|
    b
    |=1    ，x为正实数．
    （1）若
    a
    +2
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，求tanθ；
    （2）若θ=
    π
    6
    ，求|x
    a
    -
    b
    |    的最小值及对应的x的值，并判断此时向量
    a
    与x
    a
    -
    b
    是否垂直？
    分析：（1）利用数量积运算、同角三角函数的基本关系式即可得出；
    （2）利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．
    解答：解：（1）∵
    a
    +2
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，∴(
    a
    +2
    b
    )•(
    a
    -4
    b
    )    =0，
    ∴
    a
    2    -2
    a
    •
    b
    -8
    b
    2    =0，
    ∴32-2×3×1×cosθ-8×12=0，∴cosθ=
    1
    6
    ．
    又θ∈（0，π），
    ∴sinθ=
    		1-cos2θ
    =
    		35
    6
    ，
    ∴tanθ=
    sinθ
    cosθ
    =
    		35
    ．
    （2）|x
    a
    -
    b
    |=
    		(x
    a
    -
    b
    )    2
    =
    		x2
    a
    2    -2x
    a
    •
    b
    +
    b
    2
    =
    		9(x-
    		3
    6
    )    2    +
    1
    4
    ，
    故当x=
    		3
    6
    时，|x
    a
    -
    b
    |    取得最小值为
    1
    2
    ，
    此时
    a
    •(x
    a
    -
    b
    )=x
    a
    2    -
    a
    •
    b
    =
    		3
    6
    ×9-3×1×cos
    π
    6
    =0    ，
    故向量
    a
    与x
    a
    -
    b
    垂直．
    点评：熟练掌握数量积运算、同角三角函数的基本关系式、数量积的性质和二次函数的单调性是解题的关键．
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    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    满足
    a
    =(1，
    		3
    )，
    b
    =(cosθ，sinθ)(θ∈R)    ，
    （1）若2
    a
    -
    b
    与
    a
    -7
    b
    垂直，求向量
    a
    与
    b
    的夹角；
    （2）当θ∈[0，
    π
    2
    ]    时，若存在两个不同的θ使得|
    a
    +
    		3
    b
    |=|m
    a
    |    成立，求正数m的取值范围．

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    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    ，它们的夹角为θ，且|
    a
    |=3    ，|
    b
    |=1    ，若
    a
    +
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，则sin(θ+
    π
    6
    )    =
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    的夹角为θ，且|
    a
    |=3，|
    b
    |=1，x为正实数．
    （1）若
    a
    +2
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，求tanθ；
    （2）若θ=
    π
    6
    ，求|x
    a
    -
    b
    |的最小值及对应的x的值，并指出此时向量
    a
    与x
    a
    -
    b
    的位置关系；
    （3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x
    a
    -
    b
    |=|m
    a
    |有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

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