Question

已知两个不共线的向量

a

，

b

的夹角为θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x为正实数．
（1）若

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若θ=

π

6

，求|x

a

-

b

|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量

a

与x

a

-

b

的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，（

a

+2

b

）•（

a

-4

b

）=0，可得，化简，即可求出tanθ；
（2）将模平方，结合二次函数的性质，可求|x

a

-

b

|的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可确定向量

a

与x

a

-

b

的位置关系；
（3）方程|x

a

-

b

|=|m

a

|，等价于9x²-3cosθx+1-9m²=0，利用关于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论．

解答：解：（1）∵

a

+2

b

与

a

-4

b

垂直，
∴（

a

+2

b

）•（

a

-4

b

）=0
∴

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0
∵|

a

|=3，|

b

|=1，
∴9-6cosθ-8=0
∴cosθ=

1

6

∵θ∈[0，π]
∴sinθ=

35

6

∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

；
（2）θ=

π

6

，|x

a

-

b

|²=9x2-

3

x+1
∴x=-

- 3

18

=

3

18

时，|x

a

-

b

|的最小值为

132

12

此时

a

•（x

a

-

b

）=9x-3•

3

2

=0，
∴

a

与x

a

-

b

垂直；
（3）方程|x

a

-

b

|=|m

a

|，等价于9x²-3cosθx+1-9m²=0
∵关于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有两个不同的正实数解，
∴

9cos2θ-36(1-9m2)＞0 cosθ 3 ＞0 1-9m2 9 ＞0

∴-

1

3

＜m＜-

3

6

或

3

6

＜m＜

1

3

．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．