Question

给出如下命题：
①直线x=

π

6

是函数y=sin(x+

π

3

)的一条对称轴；
②函数f（x）关于点（3，0）对称，满足f（6+x）=f（6-x），且当x∈[0，3]时，函数为增函数，则f（x）在[6，9]上为减函数；
③命题“对任意a∈R，方程x²+ax-1=0有实数解”的否定形式为“存在a∈R，方程x²+ax-1=0无实数解”；
④lg²5+lg2•lg50=1．
以上命题中正确的是

①②③④

．

Answer 1

分析：首先分析命题①因为

π

6

+

π

3

=

π

2

，所以函数y=sin(x+

π

3

)的一条对称轴方程是：x=

π

6

．故命题①正确．
分析命题②可以根据已知条件得函数f（x）满足f（6+x）=f（6-x），所以有函数f（x）在[6，9]的函数图象与函数在[3，6]上的图象关于x=6对称，又x∈[0，3]时，函数为增函数，所以函数在[3，6]区间上也为增函数，根据图象关系即可得出命题②正确．
分析③命题；根据命题否定的定义，对命题③的条件和结果都进行否定即可．
分析命题④，把左边式子根据对数的性质化简即可得到答案．

解答：解：对于①直线x=

π

6

是函数y=sin(x+

π

3

)的一条对称轴；因为

π

6

+

π

3

=

π

2

，所以函数y=sin(x+

π

3

)的一条对称轴方程是：x=

π

6

．故命题①正确．
对于②命题“因为函数f（x）满足f（6+x）=f（6-x），所以有f（x）=f（12-x），
∵当x∈[0，3]时，函数f（x）为增函数，又函数f（x）关于点（3，0）对称，∴函数f（x）在[3，6]上也为增函数，从而函数在[0，6]上为增函数，
∵f（x）=f（12-x），函数f（x）的对称轴为x=

x+12-x

2

=6，
由函数的对称性可知，函数f（x）在区间[6，12]上为减函数，
∴f（x）在[6，9]上为减函数；故②正确；
对于③命题“对任意a∈R，方程x²+ax-1=0有实数解”的否定形式为“存在a∈R，方程x²+ax-1=0无实数解”；
此是一个全称命题的否定
∴命题的否定形式为：存在a∈R，方程x²+ax-1=0无实数解，故③正确；
对于④lg²5+lg2•lg50=1．因为lg²5+lg2•lg50=lg²5+lg2（lg5+1）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．故命题④正确．
以上命题中正确的有①②③④．
故答案为①②③④．

点评：此题主要考查函数关于点对称，三角函数性质问题，命题的否定形式，和对数函数性质．这类题型在高考中属于易错题，考查的知识点较多，同学们做题的时候需要注意．