Question

7．已知与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1共焦点且过点Q（2，1）的双曲线方程是 （　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1可得焦点为$（±\sqrt{3}，0）$．设要求的双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0）．可得a²+b²=3，$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，联立解出即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1可得焦点为$（±\sqrt{3}，0）$．
设要求的双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0）．
则a²+b²=3，$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解得a²=2，b²=1．
∴要求的双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．