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    探究函数f（x）=x+
    4
    x
    ，x∈（-∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下：
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    x … -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5 …
    y … -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5 …
    （1）函数f（x）=x+
    4
    x
    ，x∈（-∞，0）在区间
    （-∞，-2）
    （-∞，-2）
    上为单调递增函数．当x=
    -2
    -2
    时，f（x）最大=
    -4
    -4
    ．
    （2）证明：函数f（x）=x+
    4
    x
    在区间[-2，0）为单调递减函数．
    （3）若函数h(x)=
    x2-ax+4
    x
    在x∈[-2，-1]上，满足h（x）≥0恒成立，求a的范围．
    分析：（1）由表格可知函数f（x）=x+
    4
    x
    在（-∞，-2）上递增；当x=-2时，y最大=4．
    （2）证明单调性可用定义法．
    （3）h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．函数h（x）变形为h（x）=x+
    4
    x
    -a，借用（2）中函数的单调性求出最小值．
    解答：解：（1）由表格可知，f（x）=x+
    4
    x
    在（-∞，0）上函数值先增大后减小，单调增区间为（-∞，-2），且当x=-2时f（x）最大=-4．
    （2）证明：设x1，x2∈[-2，0），且x1＜x2．
    f（x1）-f（x2）=x1+
    4
    x1
    -（x2+
    4
    x2
    ）=x1-x2+
    4
    x1
    -
    4
    x2
    =（x1-x2）（1-
    4
    x1x2
    ）=
    (x1-x2)(x1x2-4)
    x1x2

    ∵x1＜x2，
    ∴x1-x2＜0
    又∵x1，x2∈（-2，0）
    ∴0＜x1x2＜4
    ∴x1x2-4＜0
    ∴f（x1）-f（x2）＞0
    ∴函数在（-2，0）上为减函数．
    （3）函数h(x)=
    x2-ax+4
    x
    =x+
    4
    x
    -a，由（2）知，x+
    4
    x
    在x∈[-2，-1]上单调递减，
    所以h（x）min=h（-1）=-5-a．
    h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0，
    即-5-a≥0，解得a≤-5．
    点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数的单调性的判断与证明，直观判断，定义证明对勾函数的性质是解答本题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
     
    上递增；
    （2）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    ，当x=
     
    时，y最小=
     
    ；
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f（x）=x+
    4
    x
      x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.102 4.24 4.3 5 5.8 7.57 …
    （1）若当x＞0时，函数f（x）=x+
    4
    x
    时，在区间（0，2）上递减，则在
     
    上递增；
    （2）当x=
     
    时，f（x）=x+
    4
    x
    ，x＞0的最小值为
     
    ；
    （3）试用定义证明f（x）=x+
    4
    x
    ，x＞0在区间上（0，2）递减；
    （4）函数f（x）=x+
    4
    x
    ，x＜0有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？
    解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    观察下列表格，探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的性质，
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    （1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．
    当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）证明：函数f(x)=x+
    4
    x
    在区间（0，2）递减．
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源：徐州模拟 题型：解答题

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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