Question

双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.

（1）  求双曲线C的方程；

（2）  过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 =，且时，求Q点的坐标.

Answer 1

解：（Ⅰ）设双曲线方程为

    由椭圆

求得两焦点为，

对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

  解得，

双曲线的方程为

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，

则

∴

∴

∵在双曲线上，

∴

∴

∴

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.∴

∴是二次方程的两根.

∴

∴，

此时∴.

∴所求的坐标为.

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.

，

∴分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，

∴.

∴，

∴，

又，

∴

即

将代入得

，否则与渐近线平行。

∴。

∴

∴

∴

解法四：

由题意知直线得斜率存在且不等于零，设的方程：，

则

,

∴。

∴

同理  

∴.

即     。                                         （*）

又 

消去得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：

代入（*）式得

所求Q点的坐标为