Question

（06年山东卷理）（12分）

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。

Answer 1

解析：（Ⅰ）设双曲线方程为，由椭圆 

求得两焦点为，

对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

  解得 ，

双曲线的方程为

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，，则

，

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，，

此时.

所求的坐标为.

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.

，分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，

.

，

，，

又，，即

将代入得

，否则与渐近线平行。

。

，，

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，

则

,。

同理，.

即    。                                    （*）

又   

消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：

代入（*）式得    

所求Q点的坐标为。