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(06年山东卷理)(12分)

如图,已知平面平行于三棱锥的底面ABC,等边△所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设

(1)求证直线是异面直线的公垂线;

(2)求点A到平面VBC的距离;

(3)求二面角的大小。

解析:解法1:(Ⅰ)证明:∵平面∥平面

又∵平面⊥平面,平面∩平面

⊥平面

.

的公垂线.

(Ⅱ)解法1:过A作于D,

      

 

∵△为正三角形,∴D为的中点.

∵BC⊥平面,∴

,∴AD⊥平面

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中,.

∴点A到平面的距离为.

解法2:取AC中点O连结,则⊥平面,且=.

由(Ⅰ)知,设A到平面的距离为x,

,解得.

即A到平面的距离为.

所以,到平面的距离为.

(III)过点作,连,由三重线定理知

是二面角的平面角。

中,

所以,二面角的大小为arctan.

解法二:

中点,易知底面,过作直线

为空间直角坐标系的原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系。

(I)

由已知

。又显然相交,

的公垂线。

(II)设平面的一个法向量

  又

  由

 得

到平面的距离,即在平面的法向量上的投影的绝对值。

,设所求距离为

       则

       ,所以,A到平面VBC的距离为.

(III)设平面的一个法向量

 由    

 取    

二面角为锐角,

所以,二面角的大小为

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