Question

（06年山东卷理）（12分）

如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设

（1）求证直线是异面直线与的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角的大小。

Answer 1

解析：解法1：（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

，

又，.

为与的公垂线.

（Ⅱ）解法1：过A作于D，

      

 

∵△为正三角形，∴D为的中点.

∵BC⊥平面，∴，

又，∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，

，

即，解得.

即A到平面的距离为.

则

所以，到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中，

。

。

所以，二面角的大小为arctan.

解法二：

取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。

则。

（I），，

，

。

又

由已知。，

而。又显然相交，

是的公垂线。

（II）设平面的一个法向量，

  又

  由

取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。

       则

       ，所以，A到平面VBC的距离为.

（III）设平面的一个法向量

 由    

 取    

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为