Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．

（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0， ，1），

=（﹣1，﹣ ，1）， =（1，0，﹣2），

∴cos＜ ， ＞= = =﹣ ，

∴CE与PD所成角的余弦值为

（2）解：点F在棱PC上，且PF=λPC，∴ ，

∴F（λ，λ，﹣2λ）， =（λ，λ﹣1，2﹣2λ），

又 =（0，﹣1，0）， =（﹣1，﹣ ，1）．

设 为平面CDE的法向量，

则 ，取x=1，得 =（1，0，1）

设直线BF与平面CDE所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ= = ，

当 ，即t= ∈[1，2]时， 有最小值 ，此时sinθ取得最大值为 ，

即BF与平面CDE所成的角最大，此时 = ，即λ的值为

【解析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【考点精析】关于本题考查的异面直线及其所成的角和空间角的异面直线所成的角，需要了解异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．