Question

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，且

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2），S₁=a₁=1，可知：数列{

Sn

}是等差数列，利用等差数列的通项公式可得

Sn

，即S_n，再利用递推式即可得出a_n；
（2）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2），S₁=a₁=1，
∴数列{

Sn

}是等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（2n-1）²=2n-1．
当n=1时也成立，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=n²+

2n-1

2-1

=n²+2ⁿ-1．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．