Question

9．已知函数f（x）=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）图象的最高点为（$\frac{3π}{8}$，$\sqrt{2}$），其图象的相邻两个对称中心的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求A，ω，φ的值；
（Ⅱ）若f（a）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，且a∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$），求f（a+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得f（x）=Asin（ωx+φ），由题意和图象可得A=$\sqrt{2}$，ω=2，代入（$\frac{3π}{8}$，$\sqrt{2}$）可得φ值；
（Ⅱ）由题意易得sin（2a-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，由同角三角函数基本关系可得cos（2a-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，而f（a+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos（2a-$\frac{π}{4}$），代值计算可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=Asinωxcosφ+Acosxsinφ
=A（sinωxcosφ+cosωxsinφ）=Asin（ωx+φ），
∵图象的最高点为（$\frac{3π}{8}$，$\sqrt{2}$），相邻两个对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，
∴A=$\sqrt{2}$，$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ），
代入（$\frac{3π}{8}$，$\sqrt{2}$）可得$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3π}{8}$+φ）=$\sqrt{2}$，
∴2×$\frac{3π}{8}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
结合-$\frac{π}{2}$＜φ＜0可得φ=-$\frac{π}{4}$，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（a）=$\sqrt{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴sin（2a-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，由a∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）可得cos（2a-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$
∴f（a+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2a+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2a-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos（2a-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{3\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{10}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的图象和和差角的三角函数公式，属中档题．