Question

19．在等腰梯形ABCD中（如图），AB∥CD，DE⊥AB，AB=5，CD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，现沿DE将等腰梯形折成直二面角．
（1）证明：BC⊥平面ACE；
（2）求平面ADE与平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用勾股定理求出BC⊥EC，由直二面角性质得AE⊥平面BCDE，由此能证明BC⊥平面ACE．
（2）以E为原点，EB为x轴，ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面ADE与平面ABC所成二面角的余弦值．

解答 （1）证明：在等腰梯形ABCD中，
∵AB∥CD，DE⊥AB，AB=5，CD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴AE=1，AD=BC=2，DE=$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$，BE=4，
∴CE²+BC²=BE²，∴BC⊥EC，
∵沿DE将等腰梯形折成直二面角，∴AE⊥平面BCDE，
∵BC?平面BCDE，∴BC⊥AE，
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面ACE．
（2）解：以E为原点，EB为x轴，ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，1），B（4，0，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（4，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（3，$\sqrt{3}$，-1），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=4x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，4），
又平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+16}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
∴平面ADE与平面ABC所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{39}}{26}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查平面与平面所成二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．